Theorie der Solid State Tesla Coil (SSTC)

---

1.1 Vorwort

Die so genannte Solid State Tesla Coil erfreut sich steigender Beliebtheit bei den  Experimentatoren mit Hochspannung. Die Besonderheit des technischen Aufbaus derartiger Teslaspulen ist gekennzeichnet durch die Anwendung aktiver elektronischer Bauelemente. Die sich dadurch ergebenden steuerungstechnischen Möglichkeiten erweitern den Spielraum für Experimente und  für Anwendungen bei wissenschaftlichen Untersuchungen. 

Im Internet findet man eine Vielzahl von Regeln wie man eine Solid State Tesla Coil (SSTC) wohl am besten designen sollte. Dieses Werk (diese Abhandlung) soll helfen, ein wenig mehr Klarheit in die Zusammenhänge zu bringen.

Die Gesamtheit des Aufbaus einer Solid State Tesla Coil (SSTC) könnte in folgende Funktionsgruppen unterteilt werden:

Resonator

Verstärker

Ansteuerung

User Interface

Als erster Teil ist das Ziel dieses Werkes die elektrotechnische  Analyse des Resonators.

Notiz:
Im Zusammenhang mit den zur Analyse durchgeführten Simulationen ist ein Programm entstanden,
welches unter --> Download Analyse Programm zur Verfügung gestellt wird.

Hardy Scheidig
(Januar 2007)

1.2 Historie

Version	Datum	Bemerkung
1.0	07.01.2007	1. Version
1.1	22.03.2008	geringfügige Korrekturen.

1.3 Urheberrechtsbestimmung

Der Inhalt dieses Werkes mit allen Texten und Abbildungen ist, soweit nicht anders gekennzeichnet, das geistige Eigentum von Hardy Scheidig.
Es unterliegt den deutschen und internationalen Urheberrechtsbestimmung.
Alle Rechte vorbehalten.

2 Überblick

Die folgende Darstellung illustriert den prinzipiellen Aufbau der Solid State Tesla Coil (SSTC).

Abbildung 1: Grundlegender Aufbau der Solid State Tesla Coil (SSTC)

Ansteuerung:

Diese dient der Erzeugung des hochfrequenten (..50 kHz…1MHz…) Signals.

Man könnte unterscheiden zwischen:

starrer, ungeregelter Ansteuerung der Solid State Tesla Coil (SSTC)

Ist gekennzeichnet durch eine feste Frequenz des Ansteuersignals.

Diese wird so abgestimmt, dass sie der erwarteten Resonanzfrequenz des Resonators entspricht.

geregelte Ansteuerung der Solid State Tesla Coil (SSTC)

Ist dadurch gekennzeichnet,
dass sich die Frequenz des Ansteuersignals (in gewissen Grenzen) der aktuellen Frequenz des Resonators anpasst.

Verstärker:

Dieser dient der Verstärkung des Ansteuersignals so dass eine hinreichende Leistung zur Verfügung steht.

In der Praxis werden Röhren, Power-Mosfets oder IGBT’s verwendet.

Resonator:

Dieser besteht im wesentlichen aus der Spule L2,
welche in Verbindung mit der Top Kapazität und den verteilten Kapazitäten
einen elektrischen Schwingkreis bildet.

Die Spule L1 dient der Einkopplung des Erregersignals.
Sie ist mit der Resonatorspule L1 relativ lose gekoppelt (… k=0.1 … k= 0.4 ...)

Ziele des Aufbaues:

Generell soll bei einer Solid State Tesla Coil (SSTC) durch Ausnutzung der Resonanztransformation (Resonanzüberhöhung) eine möglichst hoch Ausgangsspannung an L2 erzielt werden.

Für viele Anwendungen ist die Funkenbildung am Top der Solid State Tesla Coil (SSTC) das erklärte Ziel. Die Funkenlänge bzw. die Intensität soll maximiert werden.

3 Model

Ersatzschaltbild
Die Basis für die Analyse der Vorgänge und Abhängigkeiten bildet folgendes Ersatzschaltbild.

Abbildung 2: Ersatzschaltbild der Solid State Tesla Coil (SSTC)

So einfach die Schaltung des Resonators auch aussehen mag, die allgemeine mathematische Analyse des Konstrukts ist es nicht, denn sie führt zu einem nicht trivialen Differenzialgleichungssystem.

Vereinfachungen
Zur Vereinfachung sollen folgende Festlegungen getroffen werden:

Ein Reihenwirkwiderstand von L1 ist vernachlässigbar klein oder wird dem Widerstand R_i zugeschrieben.

C1

Bei der typischen Solid State Tesla Coil (SSTC) wird C1 nicht (noch nicht) verwendet und soll deshalb am Anfang der Betrachtungen mit C1 = 0 angenommen werden.

Es wird sich am Ende der Betrachtungen zeigen, dass C1 eine konstruktive Verbesserung darstellt.

Rr ist klein im Vergleich zu X_L2 (Blindwiderstand von L2)

Es wird vorerst von einer sinusförmigen Erregerspannung ausgegangen.

Auch wenn letztendlich mit einem periodischen Rechtecksignals erregt wird, kann man dieses auch als Summe von sinusförmigen Spannungen ansehen, deren stärkste Komponente hier die Hauptbeachtung findet.

Es soll vorerst nur der stationäre (also eingeschwungene) Zustand betrachtet werden.

Das heißt, Einschwingvorgänge werden in den Betrachtungen vorerst außer acht gelassen.

Reduziertes Ersatzschaltbild
Mit den genannten Vereinfachungen kommt man unter Ausnutzung des typischen Transformatorersatzschaltbildes zu folgendem reduzierten Ersatzschaltbild:

Abbildung 3: Reduziertes Ersatzschaltbild der Solid State Tesla Coil (SSTC)

Bemerkung:
Dieses Ersatzschaltbild ist nur eine Näherung.
Intension dieser Ersatzschaltung ist es, die gesamte Streuung auf die Sekundärseite zu transformieren. Somit ergeben sich später Ausdrücke, welche die für den Resonator bestimmenden Größen L2, C2, R2 (bzw. R2p) beinhalten.

Definitionen:

Koppelfaktor k

Übertragungsfaktor (Transfer Factor) TF

L1 und L2 sind dabei die tatsächlichen Größen gemäß Abbildung 2

Ri:

Innenwiderstand der treibenden Spannungsquelle also des Verstärkers

Sollte L1 einen nicht vernachlässigbaren Reihenwirkwiderstand aufweisen, so kann man diesen ggf. auch dem Innenwiderstand zuordnen.

Tr1:

idealer Transformator

mit sehr großer Primärinduktivität Lprim

mit sehr großer Sekundärinduktivität Lsec

mit k_Tr1=1

Der Übertragungsfaktor (auch gern mit „Ü“ bezeichnet) entspricht hier TF_Tr1.

Die absoluten Größen von Lprim und Lsec sind irrelevant solange

k=1 ist

und das Verhältnis TF_Tr1² ist

L1:

Primär- Induktivität

könnte rechnerisch auch durch   ersetzt werden.

L2b:

C2:

stellt den Ersatz für alle resonatorrelevanten Kapazitäten dar.

Top Kapazität (hauptsächlich zur Erde)

verteilte Kapazität der Windungen (Oberfläche) zur Erde

verteilte Kapazität der Windungen untereinander.

R2p:

vereinigt alle reell- wertigen Widerstände des Sekundärkreises (also des Resonators der Solid State Tesla Coil (SSTC)).
Diese sind im wesentlichen:

der zu einem Parallelanteil R2p_Rr transformierte Spulenwiderstand Rr

der Strahlungswiderstand R_s, welcher die Summe aller Wirkanteile repräsentiert, die sich dem Stromfluss durch die verteilten Kapazitäten entgegenstellen.
Solche Wirkanteile sind beispielsweise:

das Widerstandsäquivalent zur im Funken erzeugten Wärme

das Widerstandsäquivalent einer beliebigen Leiterschleife, welche sich im Strahlungsbereich der Spule befindet

das Widerstandsäquivalent der Energie welche als Hertzsche Welle in den Raum abgestrahlt und letztendlich irgendwo in Wärme umgewandelt wird.

4 Analyse (stationärer Zustand)

Zur Dimensionierung der Solid State Tesla Coil (SSTC) (also von Resonator und Ansteuerung als auch zur Abschätzung der zu erwartenden Ergebnisse ist es hilfreich, die wesentlichen Eigenschaften des Resonators zu analysieren.

Eigenschaften:

Resonanzfrequenz

Spannungsübersetzung (U₂/U₁) bzw. (U₂/U_g)

Resonanzschärfe

Eingangsimpedanz

Widerstand, den der Verstärker „sieht“

Wirkung des Reihenwiderstandes

Wirkung des Innenwiderstandes

Leistungsbilanz

Wie bereits erwähnt würde eine umfassende Analyse der Solid State Tesla Coil (SSTC) zu Differenzialgleichungssystemen führen deren Lösung und Interpretation das Ziel dieser Abhandlung verfehlen würden.
Die Analyse sei auf sinusförmige Erregung beschränkt. Zur Vereinfachung der Berechnungen wird auf Widerstandsoperatoren
(wie z.B. Z_L = jX_L = jwL)  zurückgegriffen.

4.1 Vorbetrachtungen

Wie bereits erwähnt sind übliche Koppelfaktoren im Bereich k= 0.1…0.4.
Das heißt:

L2b = L2*(1-k²) = L2* {0.99 … 0.84}

Der Spulenwiderstand Rr ist typischerweise im Bereich
Rr = (..10…200..) Ohm. Es ist zu beachten, dass der  reelle Wirkwiderstand bei Wechselstrom ggf. deutlich höher sein kann als der Wirkwiderstand bei Gleichstrom.

Das Verhältnis L_2b/C₂ hat die Dimension ohm².
Für Teslaspulen hat L_2b/C₂ in der Regel einen sehr hohen Zahlenwert in der Größenordung:

beispielsweise L_2b/C₂ => 10⁹ Ohm²

bzw.

Der Kehrwert C/L ist dementsprechend sehr klein

Der Innenwiderstand des Verstärkers Ri sollte klein im Vergleich zur Impedanz von L1 (bei Arbeitsfrequenz) sein. Wie sich später noch zeigen wird, ist dies sowohl für die Spannungsübersetzung als auch für den Wirkungsgrad der Solid State Tesla Coil (SSTC) von Bedeutung.

Bei Transistor basierenden Verstärkern kann man typischerweise von Ri = (2..20) ohm ausgehen.

4.2 Wirkung des Reihenwiderstandes Rr

Wie bereits erwähnt, soll der reelle Reihenwiderstand R_r der Sekundärinduktivität dem parallelen Wirkwiderstand R2p zugerechnet werden.

Ansatz / Herleitung:

Gleichsetzung der Schaltungen

jX_L2b+ R_r + jX_C2  und

jX_L2b+ (R2p_Rr  || jX_C2  )

Dies führt zu:

Der Fokus der Betrachtungen liegt bei dem Verhalten in der Nähe der
Resonanzfrequenz (f ≈ f₀). Dafür ergibt sich näherungsweise:

Geht man zudem davon aus, dass
 ist,

so folgt durch eine weitere Näherung:

Diskussion:

Beispiel:
Für einen Solid State Tesla Coil (SSTC)

Reihenwiderstand von R_r = 50 ohm

L_2b/C₂ => 10⁹ ohm²

ergibt sich für den Anteil am Parallelwiderstand R2p_Rr≈ 20 Mohm.

Spulen mit hohem Reihenwiderstand (dünner Draht) sollten nicht mit übertriebener, zusätzlicher Top-Kapazität ausgestattet werden.

Es wird sich zeigen, dass R2p_Rr (als Anteil der sekundären Last) einen (wenn auch geringen) Einfluss hat auf:

die Resonanzfrequenz

die Bandbreite

und die Spannungsübersetzung

4.3 Wirkung des Innenwiderstandes  Ri

Es sei angenommen, dass der Innenwiderstand des Generators (bzw. des Verstärkers) rein reell ist.
Dies kann man in sofern annehmen, weil man eventuelle induktive Anteile (z.B bedingt durch lange Leitungen) der Induktivität L1 zurechnen könnte.

Weißt der Innenwiderstand Ri eine relevante Größe auf, so hat dies Einfluss auf

die Resonanzfrequenz

die Bandbreite

und die Spannungsübersetzung

Zur Analyse ist es hilfreich, das reduzierte Ersatzschaltbild (Abbildung 3) erneut zu modifizieren.
Die folgende Abbildung illustriert die Modifikation.

Abbildung 4: Modifiziertes Ersatzschaltbild der Solid State Tesla Coil (SSTC)

Ersatzgrößen:

Ug_m:

für (f ≈ f₀) ergibt sich näherungsweise:

Ri_m:

für (f ≈ f₀) ergibt sich näherungsweise:

R2p_Rim

Ri_m kann man näherungsweise ebenfalls in den Sekundärkreis transformieren und
als Anteil R2p_Rim der gemeinschaftlichen parallelen Last R2m = (R2p || R2p_Rim) zurechnen.

Beispiel:
Für einen typischen Fall

L_2b/C₂ => 10⁹ ohm²

TF = 4

Ri = 10 Ohm
ergeben sich:

Ri_m ≈ 9.85 Ohm

R2p_{Ri_m} ≈ 6.1 Mohm.

L1m:

für (f ≈ f₀) ergibt sich näherungsweise:

                                                                         

L2m:

Um den Einfluss auf die Resonanzfrequenz zu erklären, kann L1m auf die Sekundärseite transformiert werden.
Dies ergibt:

mit  L1*TF²  =  L2*k²  folgt

Diskussion des Einflusses auf die Resonanzfrequenz:

Nach der Umformung des Ersatzschaltbildes der Solid State Tesla Coil (SSTC) lässt sich erkennen, dass man die Ersatzgröße L1m als zusätzlichen Induktivitätsanteil zu L2b einbringen kann.

Das so entstandene L2m kann nun anstatt L2b in die entsprechenden Formeln eingebracht werden, um näherungsweise die durch Ri leicht veränderte Resonanzfrequenz zu bestimmen.

Für Ri --> ∞folgt:

Der Sekundärkreis wird durch den Primärkreis nicht mehr belastet. L2 wird nicht mehr durch die Kopplung in den Primärkreis verringert.

Vergrößerung von Ri führt zu einer Verringerung der Resonanzfrequenz.

Für Ri --> 0 folgt:

Der Primärkreis ist kurzgeschlossen. Die Kopplungsbedingte Reduzierung der Sekundärinduktivität wird voll wirksam.

Dies ist übrigens der angestrebte Fall.

Wie sich später zeigen wird, hat auch die zusätzliche Bedämpfung des Sekundärkreises durch R2p_Rim einen Einfluss auf Resonanzfrequenz und Bandbreite der Solid State Tesla Coil (SSTC).

Diskussion des Einflusses auf die Spannungsübersetzung:

Dieser Einfluss findet Berücksichtigung durch
 

den Korrekturfaktor m_ug
 

sowie durch die zusätzliche Dämpfung im Sekundärkreis (R2p_{Ri_m})
 

Für Ri     folgt m_ug --> 0
 

Für Ri = 0 folgt m_ug --> 1

Für eine maximale Spannungstransformation ist folglich die Minimierung des Innenwiderstand geboten.

Bemerkung:
Sieh auch --> L1-Kompensation

4.4 Resonanzfrequenz

Im Zusammenhang mit Schwingkreisen spricht man von Resonanz, wenn sich die Blindkomponenten aufheben also zu Null werden.

Bildkomponenten sind induktive oder kapazitive Widerstände (Reaktanzen) an welchen (im Gegensatz zu Wirkwiderständen (Resistanzen))  keine Energie in Wärme umgewandelt wird.

Ansatz:
Die Impedanz Z = R+jX wird bei Resonanz reell (jX = 0)

Der für die Ausgangsspannung (Spannung über  C2) entscheidende Ersatzschaltungsteil
(siehe --> Abbildung 4) ist der Reihenschwingkreis bestehend aus L2m+ (C2 || R2m).

Die Einflüsse der Primärseite sind durch die Verwendung von L2m (anstatt L2b) und R2m (anstatt R2p) bereits in den Sekundärkreis transformiert.

Für die Impedanz Z_S des Schwingkreises folgt :


Löst man Z_s  in  Real – und Imaginärteil auf und setzt den Imaginärteil zu Null, so kann man unter Zuhilfenahme einer  Näherung  die Resonanzfrequenz f₀ bestimmen.



Für R2m => ∞ (was indirekt auch L_2m = L_2b bedeutet) konvergiert f₀ gegen 

Allerdings ist f₀  nicht exakt die Frequenz f_m, bei welcher das Maximum der Spannungsübersetzung auftritt.   f_m  liegt noch ein wenig neben der  Resonanzfrequenz f₀.
Es gilt :



Diskussion:

R2m Abhängigkeit

Für hinreichend große R2m  ( R2m > L2m/C2 ) kann man den hinteren Term vernachlässigen, denn er konvergiert gegen 1.

Wird R2m kleiner, verringert sich auch die Resonanzfrequenz und die Frequenz der maximalen Spannungsübersetzung.

Beispiel:
Für  L2m/C2 = 10⁹  würde bei  R2m = 1 Mohm die Frequenz auf den 0.99976 fachen Wert der idealen Resonanzfrequenz (geben durch L2b und C2 ohne R2m) abfallen.  
Dies entspricht ca. 60Hz Abfall wenn f_{0_ideal} = 250 kHz wäre.

Dies wird relevant, wenn die Spannung hoch genug wird, um Entladungen in die Luft hervorzurufen.
Der Funke führt zu einer ohmschen Belastung, welche im Model einer Reduzierung des R2m entspricht.

-> Sobald der Funke zündet, verringert sich die Resonanzfrequenz.

Ferner ist zu beachten, das obiges Formelwerk nur für gültig ist.

Beispiel für eine typische Solid State Tesla Coil (SSTC):
Für  sqrt(L2m/C2) = 30 kohm ^,  R2m = 1 Mohm , f_m ≈ 250 kHz 
beträgt der Fehler der Formel für f_m ca. 0.12 Hz.
Bei  R2m = 200 kohm beträgt der Fehler bereits 54 Hz.

Koppelfaktor

Da  folgt, dass die Resonanzfrequenz für steigenden Koppelfaktor steigt.

Bemerkung:
Sieh auch --> L1-Kompensation

4.5 Resonanzschärfe

Im Zusammenhang mit der Solid State Tesla Coil (SSTC) ist die Resonanzschärfe ein Maß dafür, wie genau die Frequenz der maximalen Spannungsübersetzung getroffen werden muss. Dies ist besonders relevant, wenn eine  starrer Ansteuerung (Frequenz wird nicht nachgeregelt) verwendet wird.

Ansatzpunkt für die Abschätzung sind die 3dB Eckfrequenzen (also die Frequenzen, bei denen die Spannungsübersetzung auf den 0.707 fachen Wert des Maximums abgefallen ist).

Die 3dB Eckfrequenzen sind näherungsweise gleich den Frequenzen, bei denen gilt :

Dies ist der Fall wenn

Einsetzen und Umstellen führt zu der Gleichung

und deren Lösungen

Auf Grund des Ansatzes gehören diese Eckfrequenzen allerdings zur Resonanzfrequenz f₀ .
Wie bereits im Kapitel Reihenwiderstand Rr müssen auch diese Frequenzen mittels eines Faktors
entsprechend der tatsächlichen Frequenz der maximalen Spannungsübersetzung verschoben werden.
Es ergibt sich :

und

f_{3db_l} ist dabei die untere (bildlich linke) Eckfrequenz und
f_{3db_r} ist dabei die obere (bildlich rechte) Eckfrequenz.

Die 3dB Bandbreite kann mittels B_3db=  f_{3db_r} - f_{3db_l.} errechnet werden und ergibt sich zu:

Diskussion:

Die beiden Eckfrequenzen sind nicht exakt symmetrisch zur Frequenz des Maximums (f_m).
Die obere Eckfrequenz f_{3db_r} ist etwas näher an f_m  als die untere Eckfrequenz f_{3db_l}.

Beispielsweise ist die Differenz der Abstände
( bei einer 3dB Bandbreite (B_3db ) von 8 kHz ) ca. 50 Hz.

Ferner ist zu beachten, das obiges Formelwerk nur für gültig ist.

Beispiel für eine typische Solid State Tesla Coil (SSTC) (gerundete Werte):
Für  sqrt(L2m/C2) = 30 kohm^,  R2m = 1 Mohm, f_m = 250 kHz, B_3db= 8kHz.
beträgt der Fehler der Formel für B_3db ca. 2 Hz.
Bei R2p = 200 kohm (und somit B_3db= 40kHz) beträgt der Fehler bereits 240 Hz.

Bemerkung:
Sieh auch --> L1-Kompensation

4.6 Spannungsübersetzung

Die Spannungsübersetzung, deren Maximierung (oder vielleicht besser Optimierung) das Ziel des gesamten Aufbaues der Solid State Tesla Coil (SSTC) darstellt, ist die wesentlichste Eigenschaft.

Gemäß dem  Ersatzschaltbild  (Abbildung 4)  kann man die Spannungsübersetzung U₂/U_g aufteilen in U_gm / U_g und U₂ / U_gm.

U_{g_m} / U_g:

Gemäß --> Kapitel Innenwiderstand  Ri

U₂ / U_gm:

U₂ / U_gm:

Für dieses  Verhältnis gilt: 

U₂/U_2m:

Dieses Verhältnis ist durch die Transformation am Reihenschwingkreis bestehend
aus L2m+ (C2 || R2m) geprägt.

Bei Resonanz gilt:    jX_L – jX_c = 0, wodurch sich obiger Term vereinfacht zu

Ferner gilt bei Resonanzfrequenz näherungsweise  , wodurch sich als Lösung ergibt:

(-j ) ist dabei so zu interpretieren, dass die Phase von U₂ der Phase von U_2m um 90° hinterher eilt.

Mit obigen Teilfaktoren ergibt sich:

Durch weiteres Umstellen ergibt sich schließlich

U₂ / U_g:

Aus den Anteilen ergibt sich :

Diskussion :

U₂/U_gm wird um so größer je größer C₂ ist !

U₂/U_gm wird um so größer je größer k ist.

U₂/U_gm wird um so größer je größer R_2m ist.

Je kleiner die Last desto höher die Spannung.

U₂/U_gm wird um so größer je kleiner L1 ist.

In der Praxis der Solid State Tesla Coil (SSTC) muss man allerdings davon ausgehen, dass man L1 nicht beliebig verkleinern kann,
ohne dabei auch die Kopplung k zu verkleinern.

Des weiteren führt eine Verringerung von L1 bei gleich bleibenden Ri zu einer Verkleinerung
von U_{g_m} / U_g, was sich im Gesamten gegebenenfalls kontraproduktiv auswirken könnte.

Bemerkung:
Sieh auch --> L1-Kompensation

4.7 Eingangsimpedanz

Die Eingangsimpedanz Z_in ist der (komplexe, frequenzabhängige) Widerstand den man an den Anschlüssen der Primärspule  L1 messen kann. Der Innenwiderstand des Generators (bzw. des Verstärkers) bildet mit der Eingangsimpedanz einen Spannungsteiler,

dessen Teilerverhältnis für die Spannungsübersetzung von Bedeutung ist.

Dies wurde bereits indirekt im Kapitel Spannungsübersetzung  beachtet.

dessen Teilerverhältnis für den Wirkungsgrad von Bedeutung ist.

Die Basis für die Analyse der Eingangsimpedanz bildet das reduzierte Ersatzschaltbild
gemäß --> Abbildung 3.

Die Eingangsimpedanz ergibt sich durch die Parallelschaltung von

der transformierten Schwingkreisimpedanz  Z_{s_TF} = Zs / TF² 

und der Impedanz der Induktivität L1

Das Einsetzen der Basisgrößen (L1, L2b,…) und die anschließende  Auflösung dieser Formel führt  zu schwer interpretierbaren Ausdrücken. Aus diesem Grund werden die Anteile der Parallelschaltung zunächst einzeln betrachtet.

Z_{s_TF}:

Abgesehen vom Faktor 1/TF² ergibt sich für Z_s

Das Einsetzen der Basisgrößen sowie die Auflösung nach Real und Imaginärteil ergeben die folgenden Ausdrücke.

In der Nähe der Resonanzfrequenz also für f ≈ f₀ folgt:

imag( Z_s ) => 0

Schließlich gilt für Z_{s_TF} bei  (f ≈ f₀):

Diskussion:

Impedanz Z_{s_TF} wird in der Nähe Resonanzfrequenz (f ≈ f₀) (bzw. der Frequenz der maximalen Spannungsübersetzung) reell.

Der Betrag der Eingangsimpedanz ist bei (f ≈ f₀) und L/C < R2p²  umgekehrt proportional zu R2p,
denn der hintere Term geht gegen 1

Dies ist der typische Fall.

Das heißt:

Bei gleicher Generatorspannung wird ohne Funken-Entladung (=> größerer R2p)
mehr Leistung umgesetzt als mit Funken-Entladung.

Der Verstärker wird, sobald der Funke zündet, weniger belastet.

Wird nun aber R2p sehr klein (Lichtbogen oder kompletter Kurzschluss),
so wird der hintere Term zu 1/∞ ,   real{ Z_{s_TF}} also zu Null.

In diesem Fall gibt es allerdings keine Resonanzeigenschaften mehr.

imag{ Z_{s_TF}} wird zu ω*L2b/TF².

Letztendlich ergibt sich unter Berücksichtigung der Parallelschaltung mit L1

imag{ Z_{s_TF}} = L1*(1-k²)

X_L1:

Dieser Anteil ergibt sich für (f ≈ f₀) zu

Diskussion Z_in:

Die Tendenz von Z_in  lässt sich allerdings auch ohne genaue Lösung der Parallelschaltung ableiten.

(f ≈ f₀):

Dies ist der angestrebte Betriebsfall.

Da dort der Imaginäranteil von Z_{s_TF} zu Null wird
erscheint die Schaltung als Parallelschaltung aus reellem Widerstand (R_{s_TF}) und Induktivität (X_L1).

In der Parallelschaltung verringern sich Real- und Imaginäranteil gegenüber den Werten der Einzelkomponenten.

Im Zusammenhang mit dem Innenwiderstand Ri führt die Anwesenheit von L1
zu einem zusätzlichen Verlustleistungsanteil,
welcher in Ri umgesetzt wird. Dies verschlechtert den Wirkungsgrad und ist somit kontraproduktiv.

Bemerkung:
Als wesentliche Optimierungsmaßnahme ist hier die Kompensation des Blindanteils geboten.

(f > f₀):

Z_{s_TF} enthält bereits selbst eine induktive Komponente 

Die Parallelschaltung bleibt induktiv

(f < f₀):

Z_{s_TF}  selbst wird kapazitiv. 

Dies kann (muss aber nicht) in Abhängigkeit von den einzelnen Komponenten zu Nullstellen im Imaginärteil führen.

Typischerweise reduziert sich der induktive Anteil allerdings nur zu einem lokalen Minimum.

Für kleinere Frequenzen (f < < f₀) überwiegt schließlich wieder die alleinige Wirkung der Induktivität L1.

Für unkompensierte Eingangsimpedanzen  nimmt |Z_in| für f = f₀ + Df   bis zum Erreichen eine lokalen Minimums ab,
und nimmt |Z_in| für f = f₀ - Df   bis zum Erreichen eine lokalen Maximums zu.

Der Verstärker einer Solid State Tesla Coil (SSTC) ist folglich für Frequenzen oberhalb der Resonanzfrequenz mehr belastet (gefährdet)
als es für Frequenzen unterhalb der Resonanzfrequenz der Fall ist.

Bemerkung:
Sieh auch --> L1-Kompensation

4.8 Leistungsbilanz

Der Leistungsbilanz ist für die Solid State Tesla Coil (SSTC) bedeutsam. Schließlich soll die Leistung in der Funkenentladung umgesetzt werden und nicht am Innenwiderstand des Verstärkers.

Für die Leistungsbilanz könnte man zwischen zwei Betrachtungsweisen unterscheiden.

Primärer Leistungsbilanz

Bei dieser Betrachtungsweise liegt der Focus auf dem Verhältnis der im Resonator umgesetzten Leistung
(also in Z_in) zur Eingangsleistung.

Die nicht im Resonator umgesetzte Leistung wird dann in Ri umgesetzt
und führt zur Erwärmung des Verstärkers.

Funktioneller Leistungsbilanz

Bei dieser Betrachtungsweise geht es um das Verhältnis
der rein in der Funkenentladung umgesetzten Leistung zur Eingangsleistung.

Bei dieser Betrachtung werden auch
der Leistungsumsatz im Reihenwiderstand der Sekundärspule Rr
sowie  der Leistungsumsatz im Strahlungswiderstand R_s
den unerwünschten Verlustleistungen zugeordnet.

Da die Berechnung des Strahlungswiderstandes der Solid State Tesla Coil (SSTC) ohne weiteres nicht möglich ist, soll auf die Analyse der "Funktionellen Leistungsbilanz", verzichtet werden.

Bemerkung:
Bei den folgenden Berechnungen zur Leistungsbilanz ist darauf zu achten, dass es sich um komplexe Zahlen handelt. 

Leistungsbilanz der Solid State Tesla Coil (SSTC):

Scheinleistung S

(Z*) = conj(Z)

Generatorspannung  U_g ; Gesamtimpedanz Z_g = R_i + Z_in ; Gesamtadmittanz Y_g=1/Z_g

P_g ist die tatsächlich aufgenommene Gesamtwirkleistung

Q_g ist die Gesamtblindleistung, welche so zu verstehen ist,
dass pro Zeiteinheit eine bestimmte zusätzliche Energiemenge von der Quelle abgegeben
aber auch wieder zur Quelle zurückgeführt wurde.
In einer Halbwelle wird jeweils Energie zur Blinkomponente (also. z.B. Spule) übertragen
und in der anderen Halbwelle kehrt eben diese Energiemenge wieder zur Quelle zurück.

Verlustleistung am Innenwiderstand P_Ri:

mit  folgt

Leistung an der Eingansimpedanz S_Zin :

Betrachtungsweise "Primärer Wirkungsgrad" , also die gesamte am Resonator
umgesetzte Wirkleistung wird als Nutzleistung betrachtet.

mit  folgt

 und

Primärer Verlustfaktor:

Bildet man das Verhältnis P_Ri / P_Zin , so könnte man diesen als primären Verlustfaktor f_Lost bezeichnen.
Es ergibt sich:

Dieser Faktor bringt zu Ausdruck, wieviel Verlustleistung im Verstärker (in der Enstufe des Generators)
relativ zur im Resonator umgesetzten Leistung entsteht .

Dieser Faktor sollte natürlich möglichst klein werden.
Dies ist der Fall, wenn auch Ri möglichst klein ist.

Erstrebenswert ist f_Lost < 0,1 oder anders gesagt f_Lost < 20 %
(Bei f_Lost = 10% müsste die Endstufe beispielsweise 100 W Wärme abführen können
wenn man eine Ausgangsleistung von 1000 W wünscht)

f_Lost = 100% bedeutet beispielsweise, dass am Verstärker die gleich Leistung umgesetzt wird wie im Resonator.

f_Lost kann für suboptimale Konstruktionen auch deutlich größer als 100 % werden.

Der Verlustfaktor wird klein , wenn Z_in groß wird.

Bedenkt man, dass Z_in  aus der Parallelschaltung von L1 mit  Z_{S_TF}hervorgeht,
kann man erkennen, dass mit fallenden Blindwiderstand X_L1 auch Z_in  kleiner wird.
Dies ist kontraproduktiv für einen guten Verlustfaktor.

Die Blindleistung in X_L1 führt zu einer Wirkverlustleistung im Verstärker.

4.9 L1-Kompensation

Wie die Betrachtungen (Kapitel Eingangsimpedanz und Kapitel Leistungsbilanz) zeigen, wirkt der durch L1 erzeugte Blindanteil ungünstig auf die Leistungsbilanz sowie den Verlauf der Eingangsimpedanz.  Deshalb sollte diese negative Wirkung kompensiert werden.

Zu diesem Zweck wird nun der primäre Parallelkondensator C1 in die Betrachtungen aufgenommen.

Bemerkung:
Prinzipiell könnte man sich auch eine Serienkompensation vorstellen. Allerdings erzeugt man damit ein doppelt resonantes System, welches das Grundprinzip der so genannten Dual Resonant Solid State Tesla Coil (DRSSTC) darstellt.

Die Erörterung der Dual Resonant Solid State Tesla Coil (DRSSTC) ist nicht das Ziel dieser Abhandlung.

C1 muss so bemessen werden, dass der Blindanteil von L1 bei  der Frequenz der maximalen Spannungsübersetzung f_m  aufgehoben wird.



Daraus folgt :


Diskussion:

Die Anwendung dieser Kompensation führt zu Konsequenzen

Die unter Kapitel Innenwiderstand  Ri beschriebene Wirkung des Innenwiderstandes verändert sich.
Da X_L1 durch den Parallelschaltung Z(L₁||C₁) substituiert wird und
Z(L₁||C₁) in der Nähe der Resonanzfrequenz sehr groß wird, 
folgt für die Ersatzgrößen 

U_gm ≈ U_g   bzw. m_ug ≈ 1

R_im ≈ R_i

L_1m ≈ 0

L_2m ≈ L_2b

Dementsprechend verändern sich auch abgeleiteten Größen.

Die Resonanzfrequenz ändert sich entsprechend der Änderung der Größen L_2m und R_2m.

Die Resonanzfrequenz ist bei Anwendung der L1-Kompensation etwas höher als ohne Kompensation.

Die Abhängigkeit der Resonanzfrequenz von R_i verringert sich.
(speziell bemerkbar bei relativ großem R_i ).

Die Resonanzschärfe ändert sich.

Da R_im ohne L1-Kompensation größer ist als ohne,
wird der Anteil R2p_Rim (Anteil von R_2m ) kleiner,
was seinerseits zu einer Vergrößerung der Bandbreite führt.

Der Anteil der Spannungsübersetzung U_gm / U_g wird etwa gleich 1.

Dieser Aspekt kompensiert sich allerdings durch den ebenfalls kleiner werdenden R_2m

Die Spannungsübersetzung bleibt als Produkt etwa konstant und
kann nun vereinfacht ausgedrückt werden durch:

Die Eingangsimpedanz reduziert sich auf :

Z_in ≈ Z_{s_TF}

Der Verlauf der Eingangsimpedanz Z_in = f(f) verbessert sich.

|Z_in| hat bei f ≈ f₀ ein lokales Minimum und
wird sowohl für f = f₀ + Df  als auch
für f = f₀ - Df größer.
(natürlich nur bis zum Erreichen lokaler Maxima)

Der Verstärker wird also bei moderater Verstimmung nicht mehr belastet als bei Resonanzfrequenz.

Bemerkung:

Die L1 Kompensation ist allerdings kein "Wundermittel".

Bei einer suboptimal dimensionierten Solid State Tesla Coil (SSTC)
(f_Lost > 100 %) ist der durch L1 erzeugte Scheinleistungsanteil
bereits vernachlässigbar klein, sodass der leistungsoptimierende Effekt der Kompensation klein ist oder
sich sogar negativ auswirken kann.  

Weitgehend unverändert bleiben jedoch die positiven Effekte

Leistungsoptimierung nachdem die Funkenentladung gezündet hat (R_s hat sich verkleinert).

Verbesserung des Verlaufes der Eingangsimpedanz Z_in = f(f).

4.10 Zusammenfassung der Ergebnisse

In der Praxis kann man die Basisgrößen der Solid State Tesla Coil (SSTC) (wie  z.B  R2p oder auch k) nur mit gewissen Toleranzen bestimmen. Diese Toleranzen werden in der Regel mehr Einfuß auf die charakteristischen Eigenschaften des Resonators der Solid State Tesla Coil (SSTC) haben, als die zum Teil aufwendigen, zusätzlichen Faktoren in den Bestimmungsgleichungen (wie z.B. bei der Resonanzfrequenz).

Für den praktischen Gebrauch  können die Ausdrücke deshalb in grober Näherung angemessen vereinfacht werden.

R2m:

R2m = R_s || R2p_Rr || R2p_Ri

R_s

Dieser Wert kann leider nicht so einfach ausgedrückt werden.

Er wird für zunehmende Hochspannung (speziell wenn die Entladung beginnt) kleiner.

Wenn man sich für Situation vor dem Zünden der Funkenentladung interessiert,
kann man diesen Wert möglicherweise zuerst einmal vernachlässigen.
(also sehr große Werte 10..100 Mohm setzen).

Bemerkung:
Die Analyse diese Wertes wird Thema einer weiteren Abhandlung sein

Es sei erwähnt, dass ggf. ein erheblicher Anteil der
Resonatorleistung im Reihenwiderstand umgesetzt wird.

mit

Resonanzfrequenz:

mit L_2b = L₂ * (1-k²)

3 dB Bandbreite:

Spannungsübersetzung:

U_g ist dabei die Leerlaufspannung des Generators (Verstärkers)

Resonatorimpedanz (Eingangsimpedanz):

Dies ist die Impedanz mit welcher der Generator (Verstärker) belastet wird.

mit R_2p = R_s || R2p_Rr

Primärer Verlustfaktor:

Ist ein Maß dafür, wie viel Leistung im Verstärker "verbrannt" werden muss
um eine bestimmte Ausgangsleistung zu erzielen.

f_Lost sollte möglichst klein gehalten werden. Richtwert < 20% 

Für gegebenes Z_in (denn Z_in ist mehr oder weniger durch
die mechanische Konstruktion bestimmt) gilt es R_i zu minimieren.

5 Literaturverzeichnis

[1] Grimsehl ; Lehrbuch der Physik; Band 2; Elektrizitätslehre; Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1985

[2] K. Lunze; Theorie der Wechselstromschaltungen; VEB Verlag Technik Berlin 1985

[3] K. Lunze; Berechnung elektrischer Stromkreise; VEB Verlag Technik Berlin 1985

[4] K. Lunze; Einführung in die Elektrotechnik; VEB Verlag Technik Berlin 1988

---

Weiterführende Links

http://de.wikipedia.org/wiki/Tesla-Transformator.

---