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Theorie der Solid State Tesla Coil (SSTC)


1.1 Vorwort

Die so genannte Solid State Tesla Coil erfreut sich steigender Beliebtheit bei den  Experimentatoren mit Hochspannung. Die Besonderheit des technischen Aufbaus derartiger Teslaspulen ist gekennzeichnet durch die Anwendung aktiver elektronischer Bauelemente. Die sich dadurch ergebenden steuerungstechnischen Möglichkeiten erweitern den Spielraum für Experimente und  für Anwendungen bei wissenschaftlichen Untersuchungen. 

Im Internet findet man eine Vielzahl von Regeln wie man eine Solid State Tesla Coil (SSTC) wohl am besten designen sollte. Dieses Werk (diese Abhandlung) soll helfen, ein wenig mehr Klarheit in die Zusammenhänge zu bringen.

Die Gesamtheit des Aufbaus einer Solid State Tesla Coil (SSTC) könnte in folgende Funktionsgruppen unterteilt werden:

  • Resonator
  • Verstärker
  • Ansteuerung
  • User Interface
  • Als erster Teil ist das Ziel dieses Werkes die elektrotechnische  Analyse des Resonators.

    Notiz:
    Im Zusammenhang mit den zur Analyse durchgeführten Simulationen ist ein Programm entstanden,
    welches unter --> Download Analyse Programm zur Verfügung gestellt wird.

    Hardy Scheidig
    (Januar 2007)

    1.2 Historie

    Version Datum Bemerkung
      1.0   07.01.2007   1. Version
      1.1   22.03.2008   geringfügige Korrekturen.







    1.3 Urheberrechtsbestimmung

    Der Inhalt dieses Werkes mit allen Texten und Abbildungen ist, soweit nicht anders gekennzeichnet, das geistige Eigentum von Hardy Scheidig.
    Es unterliegt den deutschen und internationalen Urheberrechtsbestimmung.
    Alle Rechte vorbehalten.

    2 Überblick

    Die folgende Darstellung illustriert den prinzipiellen Aufbau der Solid State Tesla Coil (SSTC).

    Bild: Grundlegender Aufbau der Solid State Tesla Coil (SSTC)
    Abbildung 1: Grundlegender Aufbau der Solid State Tesla Coil (SSTC)

    Ansteuerung:

  • Diese dient der Erzeugung des hochfrequenten (..50 kHz…1MHz…) Signals.
  • Man könnte unterscheiden zwischen:
  • starrer, ungeregelter Ansteuerung der Solid State Tesla Coil (SSTC)
  • Ist gekennzeichnet durch eine feste Frequenz des Ansteuersignals.
  • Diese wird so abgestimmt, dass sie der erwarteten Resonanzfrequenz des Resonators entspricht.
  • geregelte Ansteuerung der Solid State Tesla Coil (SSTC)
  • Ist dadurch gekennzeichnet,
    dass sich die Frequenz des Ansteuersignals (in gewissen Grenzen) der aktuellen Frequenz des Resonators anpasst.
  • Verstärker:

  • Dieser dient der Verstärkung des Ansteuersignals so dass eine hinreichende Leistung zur Verfügung steht.
  • In der Praxis werden Röhren, Power-Mosfets oder IGBT’s verwendet.
  • Resonator:

  • Dieser besteht im wesentlichen aus der Spule L2,
    welche in Verbindung mit der Top Kapazität und den verteilten Kapazitäten
    einen elektrischen Schwingkreis bildet.
  • Die Spule L1 dient der Einkopplung des Erregersignals.
    Sie ist mit der Resonatorspule L1 relativ lose gekoppelt (… k=0.1 … k= 0.4 ...)

  • Ziele des Aufbaues:

  • Generell soll bei einer Solid State Tesla Coil (SSTC) durch Ausnutzung der Resonanztransformation (Resonanzüberhöhung) eine möglichst hoch Ausgangsspannung an L2 erzielt werden.
  • Für viele Anwendungen ist die Funkenbildung am Top der Solid State Tesla Coil (SSTC) das erklärte Ziel. Die Funkenlänge bzw. die Intensität soll maximiert werden.
  • 3 Model

    Ersatzschaltbild
    Die Basis für die Analyse der Vorgänge und Abhängigkeiten bildet folgendes Ersatzschaltbild.

    Bild: Ersatzschaltbild der Solid State Tesla Coil (SSTC)
    Abbildung 2: Ersatzschaltbild der Solid State Tesla Coil (SSTC)

    So einfach die Schaltung des Resonators auch aussehen mag, die allgemeine mathematische Analyse des Konstrukts ist es nicht, denn sie führt zu einem nicht trivialen Differenzialgleichungssystem.

    Vereinfachungen
    Zur Vereinfachung sollen folgende Festlegungen getroffen werden:

  • Ein Reihenwirkwiderstand von L1 ist vernachlässigbar klein oder wird dem Widerstand Ri zugeschrieben.
  • C1
  • Bei der typischen Solid State Tesla Coil (SSTC) wird C1 nicht (noch nicht) verwendet und soll deshalb am Anfang der Betrachtungen mit C1 = 0 angenommen werden.
  • Es wird sich am Ende der Betrachtungen zeigen, dass C1 eine konstruktive Verbesserung darstellt.
  • Rr ist klein im Vergleich zu XL2 (Blindwiderstand von L2)
  • Es wird vorerst von einer sinusförmigen Erregerspannung ausgegangen.
  • Auch wenn letztendlich mit einem periodischen Rechtecksignals erregt wird, kann man dieses auch als Summe von sinusförmigen Spannungen ansehen, deren stärkste Komponente hier die Hauptbeachtung findet.
  • Es soll vorerst nur der stationäre (also eingeschwungene) Zustand betrachtet werden.
  • Das heißt, Einschwingvorgänge werden in den Betrachtungen vorerst außer acht gelassen.
  • Reduziertes Ersatzschaltbild
    Mit den genannten Vereinfachungen kommt man unter Ausnutzung des typischen Transformatorersatzschaltbildes zu folgendem reduzierten Ersatzschaltbild:

    Bild: Reduziertes Ersatzschaltbild der Solid State Tesla Coil (SSTC)
    Abbildung 3: Reduziertes Ersatzschaltbild der Solid State Tesla Coil (SSTC)

    Bemerkung:
    Dieses Ersatzschaltbild ist nur eine Näherung.
    Intension dieser Ersatzschaltung ist es, die gesamte Streuung auf die Sekundärseite zu transformieren. Somit ergeben sich später Ausdrücke, welche die für den Resonator bestimmenden Größen L2, C2, R2 (bzw. R2p) beinhalten.

    Definitionen:

  • Koppelfaktor k
  • Übertragungsfaktor (Transfer Factor) TF
    Formel: TF
  • L1 und L2 sind dabei die tatsächlichen Größen gemäß Abbildung 2

    Ri:

  • Innenwiderstand der treibenden Spannungsquelle also des Verstärkers
  • Sollte L1 einen nicht vernachlässigbaren Reihenwirkwiderstand aufweisen, so kann man diesen ggf. auch dem Innenwiderstand zuordnen.
  • Tr1:

  • idealer Transformator
  • mit sehr großer Primärinduktivität Lprim
  • mit sehr großer Sekundärinduktivität Lsec
  • mit kTr1=1
  • Formel TRi
    Der Übertragungsfaktor (auch gern mit „Ü“ bezeichnet) entspricht hier TFTr1.
  • Die absoluten Größen von Lprim und Lsec sind irrelevant solange
  • k=1 ist
  • und das Verhältnis TFTr12 ist
  • L1:

  • Primär- Induktivität
  • könnte rechnerisch auch durch  Formel L1 ersetzt werden.
  • L2b:

  • Formel: L2b
  • C2:

  • stellt den Ersatz für alle resonatorrelevanten Kapazitäten dar.
  • Top Kapazität (hauptsächlich zur Erde)
  • verteilte Kapazität der Windungen (Oberfläche) zur Erde
  • verteilte Kapazität der Windungen untereinander.
  • R2p:

  • vereinigt alle reell- wertigen Widerstände des Sekundärkreises (also des Resonators der Solid State Tesla Coil (SSTC)).
    Diese sind im wesentlichen:
  • der zu einem Parallelanteil R2pRr transformierte Spulenwiderstand Rr
  • der Strahlungswiderstand Rs, welcher die Summe aller Wirkanteile repräsentiert, die sich dem Stromfluss durch die verteilten Kapazitäten entgegenstellen.
    Solche Wirkanteile sind beispielsweise:
  • das Widerstandsäquivalent zur im Funken erzeugten Wärme
  • das Widerstandsäquivalent einer beliebigen Leiterschleife, welche sich im Strahlungsbereich der Spule befindet
  • das Widerstandsäquivalent der Energie welche als Hertzsche Welle in den Raum abgestrahlt und letztendlich irgendwo in Wärme umgewandelt wird.
  • 4 Analyse (stationärer Zustand)

    Zur Dimensionierung der Solid State Tesla Coil (SSTC) (also von Resonator und Ansteuerung als auch zur Abschätzung der zu erwartenden Ergebnisse ist es hilfreich, die wesentlichen Eigenschaften des Resonators zu analysieren.

    Eigenschaften:

  • Resonanzfrequenz
  • Spannungsübersetzung (U2/U1) bzw. (U2/Ug)
  • Resonanzschärfe
  • Eingangsimpedanz
  • Widerstand, den der Verstärker „sieht“
  • Wirkung des Reihenwiderstandes
  • Wirkung des Innenwiderstandes
  • Leistungsbilanz
  • Wie bereits erwähnt würde eine umfassende Analyse der Solid State Tesla Coil (SSTC) zu Differenzialgleichungssystemen führen deren Lösung und Interpretation das Ziel dieser Abhandlung verfehlen würden.
    Die Analyse sei auf sinusförmige Erregung beschränkt. Zur Vereinfachung der Berechnungen wird auf Widerstandsoperatoren
    (wie z.B. ZL = jXL = jwL)  zurückgegriffen.

    4.1 Vorbetrachtungen

    Wie bereits erwähnt sind übliche Koppelfaktoren im Bereich k= 0.1…0.4.
    Das heißt:

  • L2b = L2*(1-k2) = L2* {0.99 … 0.84}

  • Der Spulenwiderstand Rr ist typischerweise im Bereich
    Rr = (..10…200..) Ohm. Es ist zu beachten, dass der  reelle Wirkwiderstand bei Wechselstrom ggf. deutlich höher sein kann als der Wirkwiderstand bei Gleichstrom.

    Das Verhältnis L2b/C2 hat die Dimension ohm2.
    Für Teslaspulen hat L2b/C2 in der Regel einen sehr hohen Zahlenwert in der Größenordung:

  • beispielsweise L2b/C2 => 109 Ohm2
  • bzw. Formel:
  • Der Kehrwert C/L ist dementsprechend sehr klein

  • Der Innenwiderstand des Verstärkers Ri sollte klein im Vergleich zur Impedanz von L1 (bei Arbeitsfrequenz) sein. Wie sich später noch zeigen wird, ist dies sowohl für die Spannungsübersetzung als auch für den Wirkungsgrad der Solid State Tesla Coil (SSTC) von Bedeutung.

  • Bei Transistor basierenden Verstärkern kann man typischerweise von Ri = (2..20) ohm ausgehen.

  • 4.2 Wirkung des Reihenwiderstandes Rr

    Wie bereits erwähnt, soll der reelle Reihenwiderstand Rr der Sekundärinduktivität dem parallelen Wirkwiderstand R2p zugerechnet werden.

    Ansatz / Herleitung:

  • Gleichsetzung der Schaltungen
  • jXL2b+ Rr + jXC2  und
  • jXL2b+ (R2pRr  || jXC2  )
  • Dies führt zu:
    Formel: Rr

  • Der Fokus der Betrachtungen liegt bei dem Verhalten in der Nähe der
    Resonanzfrequenz (f ≈ f0). Dafür ergibt sich näherungsweise:
    Formel: Rr
  • Geht man zudem davon aus, dass
    Formel: ist,
  • so folgt durch eine weitere Näherung:
    Formel: R2p
  • Diskussion:

  • Beispiel:
    Für einen Solid State Tesla Coil (SSTC)
  • Reihenwiderstand von Rr = 50 ohm
  • L2b/C2 => 109 ohm2
  • ergibt sich für den Anteil am Parallelwiderstand R2pRr≈ 20 Mohm.
  • Spulen mit hohem Reihenwiderstand (dünner Draht) sollten nicht mit übertriebener, zusätzlicher Top-Kapazität ausgestattet werden.
  • Es wird sich zeigen, dass R2pRr (als Anteil der sekundären Last) einen (wenn auch geringen) Einfluss hat auf:
  • die Resonanzfrequenz
  • die Bandbreite
  • und die Spannungsübersetzung

  • 4.3 Wirkung des Innenwiderstandes  Ri

    Es sei angenommen, dass der Innenwiderstand des Generators (bzw. des Verstärkers) rein reell ist.
    Dies kann man in sofern annehmen, weil man eventuelle induktive Anteile (z.B bedingt durch lange Leitungen) der Induktivität L1 zurechnen könnte.

    Weißt der Innenwiderstand Ri eine relevante Größe auf, so hat dies Einfluss auf

  • die Resonanzfrequenz
  • die Bandbreite
  • und die Spannungsübersetzung

  • Zur Analyse ist es hilfreich, das reduzierte Ersatzschaltbild (Abbildung 3) erneut zu modifizieren.
    Die folgende Abbildung illustriert die Modifikation.

    Bild: Modifiziertes Ersatzschaltbild der Solid State Tesla Coil (SSTC)
    Abbildung 4: Modifiziertes Ersatzschaltbild der Solid State Tesla Coil (SSTC)

    Ersatzgrößen:

  • Ug_m:
  • Formel: Ugm
  • für (f ≈ f0) ergibt sich näherungsweise:
    Formel: Ugm
  • Ri_m:
  • Formel: Rmi
  • für (f ≈ f0) ergibt sich näherungsweise:
    Formel: Rmi

  • R2pRim
  • Ri_m kann man näherungsweise ebenfalls in den Sekundärkreis transformieren und
    als Anteil R2pRim der gemeinschaftlichen parallelen Last R2m = (R2p || R2pRim) zurechnen.
  • Formel: R2p
  • Beispiel:
    Für einen typischen Fall
  • L2b/C2 => 109 ohm2
  • TF = 4
  • Ri = 10 Ohm
    ergeben sich:
  • Ri_m ≈ 9.85 Ohm
  • R2pRi_m ≈ 6.1 Mohm.

  • L1m:
  • Formel: L1m
  • für (f ≈ f0) ergibt sich näherungsweise:
  • Formel: L1m
                                                                             

  • L2m:
  • Um den Einfluss auf die Resonanzfrequenz zu erklären, kann L1m auf die Sekundärseite transformiert werden.
    Dies ergibt:
  • Formel: L2m
  • mit  L1*TF2  =  L2*k2  folgt
  • Formel: L2m
  • Formel: L2m

  • Diskussion des Einflusses auf die Resonanzfrequenz:

  • Nach der Umformung des Ersatzschaltbildes der Solid State Tesla Coil (SSTC) lässt sich erkennen, dass man die Ersatzgröße L1m als zusätzlichen Induktivitätsanteil zu L2b einbringen kann.
  • Das so entstandene L2m kann nun anstatt L2b in die entsprechenden Formeln eingebracht werden, um näherungsweise die durch Ri leicht veränderte Resonanzfrequenz zu bestimmen.
  • Für Ri --> ∞folgt:
  • Formel: Lm2
  • Der Sekundärkreis wird durch den Primärkreis nicht mehr belastet. L2 wird nicht mehr durch die Kopplung in den Primärkreis verringert.
  • Vergrößerung von Ri führt zu einer Verringerung der Resonanzfrequenz.
  • Für Ri --> 0 folgt:
  • Formel: Lm2
  • Der Primärkreis ist kurzgeschlossen. Die Kopplungsbedingte Reduzierung der Sekundärinduktivität wird voll wirksam.
  • Dies ist übrigens der angestrebte Fall.
  • Wie sich später zeigen wird, hat auch die zusätzliche Bedämpfung des Sekundärkreises durch R2pRim einen Einfluss auf Resonanzfrequenz und Bandbreite der Solid State Tesla Coil (SSTC).
  • Diskussion des Einflusses auf die Spannungsübersetzung:

  • Dieser Einfluss findet Berücksichtigung durch
     
  • den Korrekturfaktor mug
     
  • sowie durch die zusätzliche Dämpfung im Sekundärkreis (R2pRi_m)
     
  • Für Ri     folgt mug --> 0
     
  • Für Ri = 0 folgt mug --> 1
  • Für eine maximale Spannungstransformation ist folglich die Minimierung des Innenwiderstand geboten.

  • Bemerkung:
    Sieh auch -->
    L1-Kompensation

    4.4 Resonanzfrequenz

    Im Zusammenhang mit Schwingkreisen spricht man von Resonanz, wenn sich die Blindkomponenten aufheben also zu Null werden.

    Bildkomponenten sind induktive oder kapazitive Widerstände (Reaktanzen) an welchen (im Gegensatz zu Wirkwiderständen (Resistanzen))  keine Energie in Wärme umgewandelt wird.

    Ansatz:
    Die Impedanz Z = R+jX wird bei Resonanz reell (jX = 0)

    Der für die Ausgangsspannung (Spannung über  C2) entscheidende Ersatzschaltungsteil
    (siehe --> Abbildung 4) ist der Reihenschwingkreis bestehend aus L2m+ (C2 || R2m).

    Die Einflüsse der Primärseite sind durch die Verwendung von L2m (anstatt L2b) und R2m (anstatt R2p) bereits in den Sekundärkreis transformiert.

    Für die Impedanz ZS des Schwingkreises folgt :
    Formel: Z5

    Löst man Zs  in  Real – und Imaginärteil auf und setzt den Imaginärteil zu Null, so kann man unter Zuhilfenahme einer  Näherung  die Resonanzfrequenz f0 bestimmen.

    Formel: f0

    Für R2m => (was indirekt auch L2m = L2b bedeutet) konvergiert f0 gegen Formel: f0 ideal

    Allerdings ist f0  nicht exakt die Frequenz fm, bei welcher das Maximum der Spannungsübersetzung auftritt.   fm  liegt noch ein wenig neben der  Resonanzfrequenz f0.
    Es gilt :
    Formel: Fm
    Formel: Fm

    Diskussion:

  • R2m Abhängigkeit
  • Für hinreichend große R2m  ( R2m > L2m/C2 ) kann man den hinteren Term vernachlässigen, denn er konvergiert gegen 1.
  • Wird R2m kleiner, verringert sich auch die Resonanzfrequenz und die Frequenz der maximalen Spannungsübersetzung.
  • Beispiel:
    Für  L2m/C2 = 10würde bei  R2m = 1 Mohm die Frequenz auf den 0.99976 fachen Wert der idealen Resonanzfrequenz (geben durch L2b und C2 ohne R2m) abfallen.  
    Dies entspricht ca. 60Hz Abfall wenn f0_ideal = 250 kHz wäre.
  • Dies wird relevant, wenn die Spannung hoch genug wird, um Entladungen in die Luft hervorzurufen.
    Der Funke führt zu einer ohmschen Belastung, welche im Model einer Reduzierung des R2m entspricht.
  • -> Sobald der Funke zündet, verringert sich die Resonanzfrequenz.
  • Ferner ist zu beachten, das obiges Formelwerk nur für Formel: R2mgültig ist.
  • Beispiel für eine typische Solid State Tesla Coil (SSTC):
    Für  sqrt(L2m/C2) = 30 kohm ,  R2m = 1 Mohm , fm ≈ 250 kHz 
    beträgt der Fehler der Formel für fm ca. 0.12 Hz.
    Bei  R2m = 200 kohm beträgt der Fehler bereits 54 Hz.
  • Koppelfaktor
  • Da  folgt, dass die Resonanzfrequenz für steigenden Koppelfaktor steigt.
  • Bemerkung:
    Sieh auch --> L1-Kompensation

    4.5 Resonanzschärfe

    Im Zusammenhang mit der Solid State Tesla Coil (SSTC) ist die Resonanzschärfe ein Maß dafür, wie genau die Frequenz der maximalen Spannungsübersetzung getroffen werden muss. Dies ist besonders relevant, wenn eine  starrer Ansteuerung (Frequenz wird nicht nachgeregelt) verwendet wird.

    Ansatzpunkt für die Abschätzung sind die 3dB Eckfrequenzen (also die Frequenzen, bei denen die Spannungsübersetzung auf den 0.707 fachen Wert des Maximums abgefallen ist).

  • Die 3dB Eckfrequenzen sind näherungsweise gleich den Frequenzen, bei denen gilt :
    Formel:
  • Dies ist der Fall wenn
    Formel:
  • Einsetzen und Umstellen führt zu der Gleichung
    Formel:
  • und deren Lösungen
    Formel: w3db
  • Auf Grund des Ansatzes gehören diese Eckfrequenzen allerdings zur Resonanzfrequenz f0 .
    Wie bereits im Kapitel Reihenwiderstand Rr müssen auch diese Frequenzen mittels eines Faktors
    entsprechend der tatsächlichen Frequenz der maximalen Spannungsübersetzung verschoben werden.
    Es ergibt sich :
    Formel: f3dbl
    und
    Formel: f3dbr
  • f3db_l ist dabei die untere (bildlich linke) Eckfrequenz und
    f3db_r ist dabei die obere (bildlich rechte) Eckfrequenz.
  • Die 3dB Bandbreite kann mittels B3db=  f3db_r - f3db_l. errechnet werden und ergibt sich zu:
    Formel: B3db

  • Diskussion:

  • Die beiden Eckfrequenzen sind nicht exakt symmetrisch zur Frequenz des Maximums (fm).
    Die obere Eckfrequenz f3db_r ist etwas näher an fals die untere Eckfrequenz f3db_l.

  • Beispielsweise ist die Differenz der Abstände
    ( bei einer 3dB Bandbreite (B3db ) von 8 kHz ) ca. 50 Hz.
  • Ferner ist zu beachten, das obiges Formelwerk nur für Formel: r2m gültig ist.
  • Beispiel für eine typische Solid State Tesla Coil (SSTC) (gerundete Werte):
    Für  sqrt(L2m/C2) = 30 kohm,  R2m = 1 Mohm, fm = 250 kHz, B3db= 8kHz.
    beträgt der Fehler der Formel für B3db ca. 2 Hz.
    Bei R2p = 200 kohm (und somit B3db= 40kHz) beträgt der Fehler bereits 240 Hz.
  • Bemerkung:
    Sieh auch --> L1-Kompensation

    4.6 Spannungsübersetzung

    Die Spannungsübersetzung, deren Maximierung (oder vielleicht besser Optimierung) das Ziel des gesamten Aufbaues der Solid State Tesla Coil (SSTC) darstellt, ist die wesentlichste Eigenschaft.

    Gemäß dem  Ersatzschaltbild  (Abbildung 4)  kann man die Spannungsübersetzung U2/Ug aufteilen in Ugm / Ug und U2 / Ugm.

  • Ug_m / Ug:
  • Gemäß --> Kapitel Innenwiderstand  Ri
  • Formel: mug

  • U2 / Ugm:
  • U2 / Ugm:
  • Für dieses  Verhältnis gilt: Formel: TF

  • U2/U2m:
  • Dieses Verhältnis ist durch die Transformation am Reihenschwingkreis bestehend
    aus L2m+ (C2 || R2m) geprägt.
  • Formel:
  • Bei Resonanz gilt:    jXL – jXc = 0, wodurch sich obiger Term vereinfacht zu
  • Formel:
  • Ferner gilt bei Resonanzfrequenz näherungsweise  Formel: xl, wodurch sich als Lösung ergibt:
  • Formel:
  • (-j ) ist dabei so zu interpretieren, dass die Phase von U2 der Phase von U2m um 90° hinterher eilt.

  • Mit obigen Teilfaktoren ergibt sich:
  • Formel:
  • Durch weiteres Umstellen ergibt sich schließlich
  • Formel:


  • U2 / Ug:
  • Aus den Anteilen ergibt sich :
  • Formel:

  • Diskussion :

  • U2/Ugm wird um so größer je größer C2 ist !
  • U2/Ugm wird um so größer je größer k ist.
  • U2/Ugm wird um so größer je größer R2m ist.
  • Je kleiner die Last desto höher die Spannung.
  • U2/Ugm wird um so größer je kleiner L1 ist.
  • In der Praxis der Solid State Tesla Coil (SSTC) muss man allerdings davon ausgehen, dass man L1 nicht beliebig verkleinern kann,
    ohne dabei auch die Kopplung k zu verkleinern.
  • Des weiteren führt eine Verringerung von L1 bei gleich bleibenden Ri zu einer Verkleinerung
    von Ug_m / Ug, was sich im Gesamten gegebenenfalls kontraproduktiv auswirken könnte.
  • Bemerkung:
    Sieh auch --> L1-Kompensation

    4.7 Eingangsimpedanz

    Die Eingangsimpedanz Zin ist der (komplexe, frequenzabhängige) Widerstand den man an den Anschlüssen der Primärspule  L1 messen kann. Der Innenwiderstand des Generators (bzw. des Verstärkers) bildet mit der Eingangsimpedanz einen Spannungsteiler,

  • dessen Teilerverhältnis für die Spannungsübersetzung von Bedeutung ist.
  • Dies wurde bereits indirekt im Kapitel Spannungsübersetzung  beachtet.
  • dessen Teilerverhältnis für den Wirkungsgrad von Bedeutung ist.

  • Die Basis für die Analyse der Eingangsimpedanz bildet das reduzierte Ersatzschaltbild
    gemäß --> Abbildung 3.

    Die Eingangsimpedanz ergibt sich durch die Parallelschaltung von

  • der transformierten Schwingkreisimpedanz  Zs_TF = Zs / TF2 
  • und der Impedanz der Induktivität L1

  • Formel:Zin

    Das Einsetzen der Basisgrößen (L1, L2b,…) und die anschließende  Auflösung dieser Formel führt  zu schwer interpretierbaren Ausdrücken. Aus diesem Grund werden die Anteile der Parallelschaltung zunächst einzeln betrachtet.

    Zs_TF:

  • Abgesehen vom Faktor 1/TF2 ergibt sich für Zs
    Formel: Z5
  • Das Einsetzen der Basisgrößen sowie die Auflösung nach Real und Imaginärteil ergeben die folgenden Ausdrücke.
  • Formel: real(z5)
  • Formel: imag(z5)

  • In der Nähe der Resonanzfrequenz also für f ≈ f0 folgt:
  • imag( Zs ) => 0
  • Formel: real(z5)

  • Schließlich gilt für Zs_TF bei  (f ≈ f0):
  • Formel: z5 TF

  • Diskussion:

  • Impedanz Zs_TF wird in der Nähe Resonanzfrequenz (f ≈ f0) (bzw. der Frequenz der maximalen Spannungsübersetzung) reell.
  • Der Betrag der Eingangsimpedanz ist bei (f ≈ f0) und L/C < R2p2  umgekehrt proportional zu R2p,
    denn der hintere Term geht gegen 1
  • Dies ist der typische Fall.
  • Das heißt:
  • Bei gleicher Generatorspannung wird ohne Funken-Entladung (=> größerer R2p)
    mehr Leistung umgesetzt als mit Funken-Entladung.
  • Der Verstärker wird, sobald der Funke zündet, weniger belastet.
  • Wird nun aber R2p sehr klein (Lichtbogen oder kompletter Kurzschluss),
    so wird der hintere Term zu 1/∞ ,   real{ Zs_TF} also zu Null.
  • In diesem Fall gibt es allerdings keine Resonanzeigenschaften mehr.
  • imag{ Zs_TF} wird zu ω*L2b/TF2.
  • Letztendlich ergibt sich unter Berücksichtigung der Parallelschaltung mit L1
  • imag{ Zs_TF} = L1*(1-k2)
  • XL1:

  • Dieser Anteil ergibt sich für (f ≈ f0) zu
    Formel: Xli

  • Diskussion Zin:

  • Die Tendenz von Zin  lässt sich allerdings auch ohne genaue Lösung der Parallelschaltung ableiten.
  • (f ≈ f0):
  • Dies ist der angestrebte Betriebsfall.
  • Da dort der Imaginäranteil von Zs_TF zu Null wird
    erscheint die Schaltung als Parallelschaltung aus reellem Widerstand (Rs_TF) und Induktivität (XL1).
  • Formel: Zin
  • In der Parallelschaltung verringern sich Real- und Imaginäranteil gegenüber den Werten der Einzelkomponenten.
  • Im Zusammenhang mit dem Innenwiderstand Ri führt die Anwesenheit von L1
    zu einem zusätzlichen Verlustleistungsanteil,
    welcher in Ri umgesetzt wird. Dies verschlechtert den Wirkungsgrad und ist somit kontraproduktiv.
  • Bemerkung:
    Als wesentliche Optimierungsmaßnahme ist hier die Kompensation des Blindanteils geboten.
  • (f > f0):
  • Zs_TF enthält bereits selbst eine induktive Komponente 
  • Die Parallelschaltung bleibt induktiv

  • (f < f0):
  • Zs_TF  selbst wird kapazitiv. 
  • Dies kann (muss aber nicht) in Abhängigkeit von den einzelnen Komponenten zu Nullstellen im Imaginärteil führen.
  • Typischerweise reduziert sich der induktive Anteil allerdings nur zu einem lokalen Minimum.
  • Für kleinere Frequenzen (f < < f0) überwiegt schließlich wieder die alleinige Wirkung der Induktivität L1.

  • Für unkompensierte Eingangsimpedanzen  nimmt |Zin| für f = f0 + Df   bis zum Erreichen eine lokalen Minimums ab,
    und nimmt |Zin| für f = f0 - Df   bis zum Erreichen eine lokalen Maximums zu.
  • Der Verstärker einer Solid State Tesla Coil (SSTC) ist folglich für Frequenzen oberhalb der Resonanzfrequenz mehr belastet (gefährdet)
    als es für Frequenzen unterhalb der Resonanzfrequenz der Fall ist.
  • Bemerkung:
    Sieh auch --> L1-Kompensation

    4.8 Leistungsbilanz

    Der Leistungsbilanz ist für die Solid State Tesla Coil (SSTC) bedeutsam. Schließlich soll die Leistung in der Funkenentladung umgesetzt werden und nicht am Innenwiderstand des Verstärkers.

    Für die Leistungsbilanz könnte man zwischen zwei Betrachtungsweisen unterscheiden.

  • Primärer Leistungsbilanz
  • Bei dieser Betrachtungsweise liegt der Focus auf dem Verhältnis der im Resonator umgesetzten Leistung
    (also in Zin) zur Eingangsleistung.
  • Die nicht im Resonator umgesetzte Leistung wird dann in Ri umgesetzt
    und führt zur Erwärmung des Verstärkers.
  • Funktioneller Leistungsbilanz
  • Bei dieser Betrachtungsweise geht es um das Verhältnis
    der rein in der Funkenentladung umgesetzten Leistung zur Eingangsleistung.
  • Bei dieser Betrachtung werden auch
    der Leistungsumsatz im Reihenwiderstand der Sekundärspule Rr
    sowie  der Leistungsumsatz im Strahlungswiderstand Rs
    den unerwünschten Verlustleistungen zugeordnet.

  • Da die Berechnung des Strahlungswiderstandes der Solid State Tesla Coil (SSTC) ohne weiteres nicht möglich ist, soll auf die Analyse der "Funktionellen Leistungsbilanz", verzichtet werden.

    Bemerkung:
    Bei den folgenden Berechnungen zur Leistungsbilanz ist darauf zu achten, dass es sich um komplexe Zahlen handelt. 

    Leistungsbilanz der Solid State Tesla Coil (SSTC):

  • Scheinleistung S
  • Formel: SG
  • (Z*) = conj(Z)
  • Generatorspannung  Ug ; Gesamtimpedanz Zg = Ri + Zin ; Gesamtadmittanz Yg=1/Zg
  • Pg ist die tatsächlich aufgenommene Gesamtwirkleistung
  • Qg ist die Gesamtblindleistung, welche so zu verstehen ist,
    dass pro Zeiteinheit eine bestimmte zusätzliche Energiemenge von der Quelle abgegeben
    aber auch wieder zur Quelle zurückgeführt wurde.
    In einer Halbwelle wird jeweils Energie zur Blinkomponente (also. z.B. Spule) übertragen
    und in der anderen Halbwelle kehrt eben diese Energiemenge wieder zur Quelle zurück.

  • Verlustleistung am Innenwiderstand PRi:
  • mit Formel: Uri folgt
  • Formel: Pri

  • Leistung an der Eingansimpedanz SZin :
  • Betrachtungsweise "Primärer Wirkungsgrad" , also die gesamte am Resonator
    umgesetzte Wirkleistung wird als Nutzleistung betrachtet.
  • mit Formel: ul2n folgt
  • Formel: sl2n
  • Formel: pl2n und Formel: ql2n

  • Primärer Verlustfaktor:
  • Bildet man das Verhältnis PRi / PZin , so könnte man diesen als primären Verlustfaktor fLost bezeichnen.
    Es ergibt sich:
  • Formel: flost
  • Dieser Faktor bringt zu Ausdruck, wieviel Verlustleistung im Verstärker (in der Enstufe des Generators)
    relativ zur im Resonator umgesetzten Leistung entsteht .
  • Dieser Faktor sollte natürlich möglichst klein werden.
    Dies ist der Fall, wenn auch Ri möglichst klein ist.
  • Erstrebenswert ist fLost < 0,1 oder anders gesagt fLost < 20 %
    (Bei fLost = 10% müsste die Endstufe beispielsweise 100 W Wärme abführen können
    wenn man eine Ausgangsleistung von 1000 W wünscht)
  • fLost = 100% bedeutet beispielsweise, dass am Verstärker die gleich Leistung umgesetzt wird wie im Resonator.
  • fLost kann für suboptimale Konstruktionen auch deutlich größer als 100 % werden.
  • Der Verlustfaktor wird klein , wenn Zin groß wird.
  • Bedenkt man, dass Zin  aus der Parallelschaltung von L1 mit  ZS_TFhervorgeht,
    kann man erkennen, dass mit fallenden Blindwiderstand XL1 auch Zin  kleiner wird.
    Dies ist kontraproduktiv für einen guten Verlustfaktor.
  • Die Blindleistung in XL1 führt zu einer Wirkverlustleistung im Verstärker.
  • 4.9 L1-Kompensation

    Wie die Betrachtungen (Kapitel Eingangsimpedanz und Kapitel Leistungsbilanz) zeigen, wirkt der durch L1 erzeugte Blindanteil ungünstig auf die Leistungsbilanz sowie den Verlauf der Eingangsimpedanz.  Deshalb sollte diese negative Wirkung kompensiert werden.

    Zu diesem Zweck wird nun der primäre Parallelkondensator C1 in die Betrachtungen aufgenommen.

    Bemerkung:
    Prinzipiell könnte man sich auch eine Serienkompensation vorstellen. Allerdings erzeugt man damit ein doppelt resonantes System, welches das Grundprinzip der so genannten Dual Resonant Solid State Tesla Coil (DRSSTC) darstellt.

    Die Erörterung der Dual Resonant Solid State Tesla Coil (DRSSTC) ist nicht das Ziel dieser Abhandlung.

    C1 muss so bemessen werden, dass der Blindanteil von L1 bei  der Frequenz der maximalen Spannungsübersetzung fm  aufgehoben wird.

    Formel:

    Daraus folgt :
    Formel: C1

    Diskussion:

  • Die Anwendung dieser Kompensation führt zu Konsequenzen
  • Die unter Kapitel Innenwiderstand  Ri beschriebene Wirkung des Innenwiderstandes verändert sich.
    Da XL1 durch den Parallelschaltung Z(L1||C1) substituiert wird und
    Z(L1||C1) in der Nähe der Resonanzfrequenz sehr groß wird, 
    folgt für die Ersatzgrößen 
  • Ugm ≈ Ug   bzw. mug ≈ 1
  • Rim ≈ Ri
  • Formel: R2p
  • L1m ≈ 0
  • L2m ≈ L2b
  • Dementsprechend verändern sich auch abgeleiteten Größen.
  • Die Resonanzfrequenz ändert sich entsprechend der Änderung der Größen L2m und R2m.
  • Die Resonanzfrequenz ist bei Anwendung der L1-Kompensation etwas höher als ohne Kompensation.
  • Die Abhängigkeit der Resonanzfrequenz von Ri verringert sich.
    (speziell bemerkbar bei relativ großem Ri ).
  • Die Resonanzschärfe ändert sich.
  • Da Rim ohne L1-Kompensation größer ist als ohne,
    wird der Anteil R2pRim (Anteil von R2m ) kleiner,
    was seinerseits zu einer Vergrößerung der Bandbreite führt.
  • Der Anteil der Spannungsübersetzung Ugm / Ug wird etwa gleich 1.
  • Dieser Aspekt kompensiert sich allerdings durch den ebenfalls kleiner werdenden R2m
  • Die Spannungsübersetzung bleibt als Produkt etwa konstant und
    kann nun vereinfacht ausgedrückt werden durch:
  • Formel:
  • Die Eingangsimpedanz reduziert sich auf :
  • Zin ≈ Zs_TF
  • Der Verlauf der Eingangsimpedanz Zin = f(f) verbessert sich.
  • |Zin| hat bei f ≈ f0 ein lokales Minimum und
    wird sowohl für f = f0 + Df  als auch
    für f = f0 - Df größer.
    (natürlich nur bis zum Erreichen lokaler Maxima)
  • Der Verstärker wird also bei moderater Verstimmung nicht mehr belastet als bei Resonanzfrequenz.
  • Bemerkung:
  • Die L1 Kompensation ist allerdings kein "Wundermittel".
  • Bei einer suboptimal dimensionierten Solid State Tesla Coil (SSTC)
    (fLost > 100 %) ist der durch L1 erzeugte Scheinleistungsanteil
    bereits vernachlässigbar klein, sodass der leistungsoptimierende Effekt der Kompensation klein ist oder
    sich sogar negativ auswirken kann.  
  • Weitgehend unverändert bleiben jedoch die positiven Effekte
  • Leistungsoptimierung nachdem die Funkenentladung gezündet hat (Rs hat sich verkleinert).
  • Verbesserung des Verlaufes der Eingangsimpedanz Zin = f(f).
  • 4.10 Zusammenfassung der Ergebnisse

    In der Praxis kann man die Basisgrößen der Solid State Tesla Coil (SSTC) (wie  z.B  R2p oder auch k) nur mit gewissen Toleranzen bestimmen. Diese Toleranzen werden in der Regel mehr Einfuß auf die charakteristischen Eigenschaften des Resonators der Solid State Tesla Coil (SSTC) haben, als die zum Teil aufwendigen, zusätzlichen Faktoren in den Bestimmungsgleichungen (wie z.B. bei der Resonanzfrequenz).

    Für den praktischen Gebrauch  können die Ausdrücke deshalb in grober Näherung angemessen vereinfacht werden.

    R2m:

  • R2m = Rs || R2pRr || R2pRi
  • Rs
  • Dieser Wert kann leider nicht so einfach ausgedrückt werden.
  • Er wird für zunehmende Hochspannung (speziell wenn die Entladung beginnt) kleiner.
  • Wenn man sich für Situation vor dem Zünden der Funkenentladung interessiert,
    kann man diesen Wert möglicherweise zuerst einmal vernachlässigen.
    (also sehr große Werte 10..100 Mohm setzen).
  • Bemerkung:
    Die Analyse diese Wertes wird Thema einer weiteren Abhandlung sein
  • Formel: R2p
  • Es sei erwähnt, dass ggf. ein erheblicher Anteil der
    Resonatorleistung im Reihenwiderstand umgesetzt wird.
  • Formel: R2p
  • mit Formel: TF
  • Resonanzfrequenz:

  • Formel: FM
  • mit L2b = L2 * (1-k2)

  • 3 dB Bandbreite:

  • Formel: B3dB

  • Spannungsübersetzung:

  • Formel:
  • Ug ist dabei die Leerlaufspannung des Generators (Verstärkers)

  • Resonatorimpedanz (Eingangsimpedanz):

  • Dies ist die Impedanz mit welcher der Generator (Verstärker) belastet wird.
  • Zin
  • mit R2p = Rs || R2pRr

  • Primärer Verlustfaktor:

  • Formel: Flost
  • Ist ein Maß dafür, wie viel Leistung im Verstärker "verbrannt" werden muss
    um eine bestimmte Ausgangsleistung zu erzielen.
  • fLost sollte möglichst klein gehalten werden. Richtwert < 20% 
  • Für gegebenes Zin (denn Zin ist mehr oder weniger durch
    die mechanische Konstruktion bestimmt) gilt es Ri zu minimieren.

  • 5 Literaturverzeichnis

    [1] Grimsehl ; Lehrbuch der Physik; Band 2; Elektrizitätslehre; Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1985

    [2] K. Lunze; Theorie der Wechselstromschaltungen; VEB Verlag Technik Berlin 1985

    [3] K. Lunze; Berechnung elektrischer Stromkreise; VEB Verlag Technik Berlin 1985

    [4] K. Lunze; Einführung in die Elektrotechnik; VEB Verlag Technik Berlin 1988



    Weiterführende Links

    http://de.wikipedia.org/wiki/Tesla-Transformator
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